연쇄율과 음함수 미분

1. 연쇄율

연쇄율 = 합성함수 의 미분

① $(\sin ax)^{\prime}=a\cos ax$

$(\cos ax)^{\prime}=-a\sin ax$

$(\tan ax)^{\prime}=a\sec^{2} ax$

$(\sec ax)^{\prime}=a\sec ax\tan ax$

② $(e^{ax})^{\prime}=ae^{ax}$

$(\cosh ax)^{\prime}=a\sinh ax$

$(\sinh ax)^{\prime}=a\cosh ax$

③ $(e^{f(x)})^{\prime}=-f^{\prime}(x)e^{f(x)}$

 

2. 음함수 미분

$y=f(x)$ 이외의 $x$와 $y$가 혼재된 형태의 함수가 있을 수 있다.

방정식 $g(x,y)$에서 $x$의 변역 $X$와 $y$의 변역 $Y$가 존재해서 방정식 $g(x,y)=0$을 대응으로 하는 함수 $f:X \rightarrow Y$가 정의

$\Leftrightarrow$ 방정식 $g(x,y)=0$ 은 함수 $f$를 음적으로 정의한다.

$\Leftrightarrow$ $y=f(x):x$ 의 음함수(implicit function)

 

$y=\ln x$ 의 도함수

$$y=\ln x\\ \Rightarrow e^{y}=e^{\ln x}=x\\ \Rightarrow 양변\ 음함수\ 미분\\ \Rightarrow e^{y}y^{\prime}=1\\ \Rightarrow y^{\prime}=\frac{1}{e^{y}}=\frac{1}{x},\ x>0$$

④ $y=\ln (f(x))$, $(f(x))>0)$ 의 도함수

$\\Rightarrow$ $(\\ln (f(x)))^{\\prime}=\\frac{f^{\\prime}(x)}{f(x)}$

 

일반적인 지수함수 $y=f(x)^{g( x)}$ 의 미분