도함수와 미분법 - 미분 공식 정리

1. 접선과 도함수

① $f^{\prime}(a)$ : $x=a$ 에서의 미분 계수
                  : $x=a$ 에서의 순간 변화율
                  : $(a,f(a))$ 에서의 접선의 기울기

② 우변의 극한이 존재 $\Leftrightarrow$ $f(x)$ : $x=a$ 에서 미분 가능

 

미분 가능성

$f(x)$ : $x=a$ 에서 미분 가능 $\Rightarrow$ $f(x)$ : $x=a$ 에서 연속

그러나, 역은 성립하지 않는다.

 

도함수를 구한다 = 미분한다

$$f^{\prime}(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\Rightarrow f^{\prime}(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

->  $y=f(x)$ 의 도함수

 

2. 미분법

삼각함수의 도함수

① $(\sin x)^{\prime}=\cos x$

② $(\cos x)^{\prime}=-\sin x$

③ $(\tan x)^{\prime}=\sec^{2} x$

④ $(\sec x)^{\prime}=\sec x\tan x$

⑤ $(\cot x)^{\prime}=-\csc^{2}x$

⑥ $(\csc x)^{\prime}=-\csc x\cot x$

 

지수함수의 도함수

$$(e^{x})^{\prime} =\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ =\lim_{h \to 0}\frac{e^{x+h}-e^{x}}{h}\\ =\lim_{h \to 0}\frac{e^{x}(e^{h}-1)}{h}=e^{x}$$

지수함수의 도함수는 자기 자신이다 = 지수함수의 미분은 자기 자신이다

 

쌍곡선함수의 도함수

$(\cosh x)^{\prime}=\sinh x$

$(\sinh x)^{\prime}=\cosh x$

 

고계 도함수

3계 도함수까지는 프라임 기호(\prime)를 붙이지만,
4계부터는 지수 자리의 괄호 안에 미분의 횟수를 적는다.

$$y^{(n)}=f^{(n)}(x)$$

 

*** $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$  연산자 사용하여 고계도함수 표현하기 ***

$$f^{\prime \prime}(x)=f^{(2)}(x)=\dfrac{\mathrm{d}(y)^{\prime}}{\mathrm{d}x}=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})=\dfrac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}$$