함수와 그래프

범한주식회사 대학수학 (김남현, 김연미, 노태완, 윤복식 저) 필사한 내용입니다

1.1 함수와 그래프

함수 

어떤 변화하는 양(quantitiy) 이 다른 양에 의존하는 경우가 종종 있다. 예를 들어 물이 끓는 온도는 고도에 의존하고, 원의 면적은 원의 반지름과 관계가 있다. 이때 변화하는 양을 y 라고 부르고, 이것에 영향을 주는 다른 변하는 양을 x 라 부를 수 있다. y의 값이 x 의 값에 의하여 완전히 결정될 때, y를 x 의 함수라 부른다. 수학에서는 보다 일반적으로 한 집합의 각 원소에 다른 집핮ㅂ의 원소를 대응시키는 어떤 규칙을 함수라고 부른다. 이 집합들은 수의 집합일 수도 혹은 임의의 원소들의 집합일 수도 있고, 또 두 집합이 반드시 동일할 필요는 없다. 혹은 함수를 일종의 기계 장치로 간주하여 어떤 입력(input)에 대하여 출력(output) 을 대응시키는 관계로 생각할 수도 있다.

정의

집합 D에서 집합 E로의 함수는 D의 각 원소에 E의 단 하나의 원소를 대응시키는 규칙이다.

오일러는 y가 x 의 함수임을 표현하기 위해 y=f(x) 라는 기호를 도입하였다. 이때 x 를 독립변수, y 를 종속변수라 부르며, 이 독립변수 x 의 집합을 함수의 정의역(domain) 이라 하고, 종속변수 y 의 집합을 치역(range)이라 부른다.

그래프

함수 y = f(x) 에서 점들의 모임 {(x,y)|x∈D, y=f(x)} 은 함수의 그래프를 이룬다. 예를 들어 함수 y = x + 3 의 그래프는 평면상의 좌표 (x,y) 중에서 y 의 값이 x + 3 인 점들의 집합, 즉 직선 y = x + 3 으로 나타낸다.

합성함수

함수 g 의 출력값들이 함수 f 의 입력값이 될 수 있는 경우에 두 함수를 결합하여 새로운 함수 f(g(x))를 만들 수 있다. 이 함수의 입력은 함수 g 의 입력이고, 출력은 f(g(x))이다. 이 함수를 g 와 f 의 합성함수라 부르고 일반적으로 f ∘ g 로 표시한다.

우함수/기함수

함수의 정의역에서 모든 점에서 f(-x) = f(x) 를 만족할때, 함수 y = f(x) 를 우함수라 하고, 함수의 정의역의 모든 점에서 f(-x) = - f(x) 일 때, 함수 y = f(x) 를 기함수라 한다.

 

1.2 극한

미적분학(calculus)은 극한의 개념 위에서 세워졌다. 극한의 직관적 이해를 위해서 먼저 다음과 같은 예를 생각해보자.

함수 f(x) = x^3 - 8 / x^2 - 4 은 x = 2 에서 정의되지 않는다. 그러면 x 가 2 로 가까이 갈 때 f(x) 는 어떤 값에 가까이 갈 것인가? 수치계산을 통하여 x 가 2 로 가까이 갈 때 f(x) 는 3으로 접근한다. 이 경우 'x' 가 2로 수렴할 때 f(x) 는 극한값 3을 가진다라고 하고, lim x → 2 f(x) = 3 이라고 나타낸다.

특히, x 가 왼쪽(음의 방향)에서 2로 가까이 갈 때의 극한값을 좌극한이라 하며, x 가 오른쪽(양의 방향)에서 2로 가까이 갈 때의 극한값을 우극한이라 한다.